Comunicação CeMEAI
Singular Shocks in a Chromatography Model:
Singular Perturbation Theory and Geometric Insight
Barbara Lee Keyfitz
Department of Mathematics, The Ohio State University
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A standard model for two-component chromatographic separation provides a well-known example of a system of two hyperbolic conservation laws (quasilinear hyperbolic partial dierential equations) in a single space dimension and time. Systems of this type do not generally have smooth solutions, even for smooth data, so it is customary to seek weak solutions; and, in the standard theory, these solutions are functions of bounded variation. For particularly simple data, solutions are piecewise smooth, with simple jump discontinuities.
Recent analysis by Marco Mazzotti [7], however, has demonstrated that some chromatography models may have solutions of considerably less regularity, even for very simple data. Furthermore, Mazzotti's predictions have been veried in experiments.
Mazzotti's solutions lie in a class of functions, singular shocks , originally discovered by Keytz and Kranzer, [3,4], and subsequently studied in greater depth by Sever, [9]. Members of this class may contain measures (for example Dirac δ-functions), and elements weaker than measures. Overall, it is unclear in what sense singular shocks satisfy the conservation law.
In this talk, I expand on work by Stephen Schecter [8] which uses Geomet-ric Singular Perturbation Theory (GSPT) [2] to prove that approximations to singular shocks satisfy a well-known approximation, the self-similar Dafermos-DiPerna regularization [1], of one model system [6]. In addition to demonstrat-ing a mechanism for the approximation, GSPT also demonstrates the detailed structure of singular shock pro les. Besides the chromatography model, some examples include a classic model, which gave rise to the discovery of singu-lar shocks, of gas dynamics with the wrong variables conserved; an additional application of these ideas has led to some insights into a simplied model for incompressible two-phase flow [5].
This work is joint with Ting-Hao Hsu, Michael Sever, Charis Tsikkou, and Fu Zhang.
References
[1] C. M. Dafermos and R. J. DiPerna, The Riemann problem for certain classes of hyperbolic systems of conservation laws. J. Differential Equations 20 (1976), 90-114.
[2] C. K. R. T. Jones, Geometric singular perturbation theory. Dynamical systems (Montecatini Terme, 1994), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1609, Springer, Berlin, 1995, pp. 44-118.
[3] B. L. Keyfitz and H. C. Kranzer, A viscosity approximation to a system of conservation laws with no classical Riemann solution. In Nonlinear Hyperbolic Problems (Bordeaux, 1998), (eds. C. Carasso et al.), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1402; Springer, Berlin, 1989, pp. 185-197.
[4] B. L. Keyfitz and H. C. Kranzer, Spaces of weighted measures for conservation laws with singular shock solutions, J. Differential Equations, 118 (1995), 420-451.
[5] B. L. Keyfitz, M. Sever and F. Zhang, Viscous Singular Shock Structure for a Nonhyperbolic Two-Fluid Model, Nonlinearity , 17 (2004), 1731-1747.
[6] B. L. Keyfitz and C. Tsikkou, Conserving the Wrong Variables in Gas Dynamics: A Riemann Solution with Singular Shocks, Q. Applied Mathematics, LXX (2012), 407-436.
[7] M. Mazzotti, Non-classical composition fronts in nonlinear chromatography - Delta-shock, Indust. & Eng. Chem. Res., 48 (2009), 7733-7752.
[8] S. Schecter, Existence of Dafermos proles for singular shocks, J. Differential Equations 205 (2004), 185-210.
[9] M. Sever, Distribution solutions of nonlinear systems of conservation laws, Memoirs of the AMS, 889 (2007), 1-163.
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A contribuição dos pesquisadores estrangeiros ao CeMEAI
Profissionais de diferentes áreas repassam conhecimentos e experiências
O britânico Michael Vynnycky, professor da KTH Royal Institute of Technology , está no Brasil como professor visitante especial a convite do CEPID - CeMEAI. Saiba mais sobre as pesquisas desenvolvidas por ele: http://goo.gl/pjddCs
Publicado por CEPID - CeMEAI em Quarta, 3 de fevereiro de 2016
Os Pesquisadores Visitantes Especiais (PVE) têm papel de grande relevância nas universidades brasileiras e igualmente como integrantes da equipe CEPID- CeMEAI.
É o caso do pesquisador britânico Michael Vynnycky, chefe do Departamento de Ciência dos Materiais e Engenharia no Instituto Real de Tecnologia em Estocolmo e também professor de Mecânica dos Fluidos, que encerra, neste semestre, projetos que tiveram início em 2013, na USP, em São Carlos.
Vinnycky é autor de mais de 80 publicações em periódicos e mais de 20 artigos revisados em conferências internacionais. As pesquisas feitas por ele, também no Brasil, estudam a solução numérica de modelos matemáticos para aplicações de energia, processos industriais e fenômenos naturais. Entre as aplicações de energia estão: células de combustível, baterias de íon de lítio, células de fluxo redox vanádio. Para os processos industriais, podemos destacar: decapagem eletrolítica de aço, fundição de metais, liofilização e P3P (perspectiva de 3 pontos) em imagens por câmera.
Três alunos de doutorado foram orientados por ele nesse período e darão sequência ao trabalho desenvolvido.
Para o coordenador de CEPID-CeMEAI, José Alberto Cuminato, esse programa de pesquisadores visitantes do exterior é de extrema importância na relação universidade e indústria. “Uma das grandes dificuldades da utilização da matemática na indústria brasileira é a falta de pessoal e o programa permite que possamos trazer profissionais experientes em diferentes áreas para orientação dos alunos e formação de mão de obra. Esse é um dos grandes objetivos do CeMEAI”, explicou.
Sobre o CeMEAI
O Centro de Ciências Matemáticas Aplicadas à Indústria (CeMEAI), com sede no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, em São Carlos, é um dos Centros de Pesquisa, Inovação e Difusão (CEPIDs) financiados pela FAPESP. O CeMEAI é especialmente adaptado e estruturado para promover o uso de ciências matemáticas (em particular matemática aplicada, estatística e ciência da computação) como um recurso industrial.
As atividades do Centro são realizadas dentro de um ambiente interdisciplinar, enfatizando-se a transferência de tecnologia e a educação e difusão do conhecimento para as aplicações industriais e governamentais. As atividades são desenvolvidas nas áreas de Otimização Aplicada e Pesquisa Operacional, Mecânica de Fluidos Computacional, Modelagem de Risco, Inteligência Computacional e Engenharia de Software.
Além do ICMC, o CEPID-CeMEAI conta com outras seis instituições associadas: o Centro de Ciências Exatas e Tecnologia da Universidade Federal de São Carlos (CCET-UFSCar); o Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas (IMECC-UNICAMP); o Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista (IBILCE-UNESP); a Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista (FCT-UNESP); o Instituto de Aeronáutica e Espaço (IAE); e o Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP).
Raquel Vieira - Assessoria CEPID-CeMEAI
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